¿Qué es la aritmética?

La aritmética, como sustantivo, designa a la parte de las matemáticas que estudia los números naturales (enteros positivos), y racionales (número entero o que puede expresarse como cociente de números enteros) y de las operaciones que se hacen con ellos. También se usa como adjetivo, como en la siguiente afirmación: se necesitan cálculos aritméticos para determinar la cantidad de dinero que debemos pagar.

Etimología de ‘aritmética’

Etimológicamente, ‘aritmética’ se interpreta como “arte numérico”. Veamos:

Como primera aproximación, la palabra ‘aritmética’ es un cultismo que procede del latín ărithmētĭca, el singular femenino de ărithmētĭcus, ‘lo relacionado con la aritmética’, y éste del griego arithmetiké (tēchné), ‘el arte, ciencia o habilidad de calcular’.

La secuencia sucedió así:

‘Aritmética’, procede del latín ărithmētĭca, del griego ἀριθμητική τέχνη (arithmetiké techné), ‘el arte, la habilidad o el ingenio de calcular’. La palabra ἀριθμητική (la ciencia o el arte del cálculo) es el femenino de ἀριθμητικός (lo referente al cálculo); derivado a su vez del verbo ἀριθμέω, ἀριθμειν (arithméo, arithmein), ‘contar’, ‘calcular’, ‘numerar’, finalmente de ἀριθμός (arithmos), ‘número’, ‘magnitud’, ‘cantidad’, que, hay que decirlo, pasó al latín como ărithmos.

El sufijo griego -iké

En la palabra ἀριθμητική se encuentra el sufijo -ική (-iké), -ικος (-ikos), castellanizado, -ico, -ica, que indica relación y que se usa para dar nombre a ciertas técnicas, por ejemplo, cibernética, mecánica y robótica. Luego entonces, “aritmética es lo relacionado (-ica) con los números (arithmos)”.    

Relación indoeuropea de ‘arithmos’

Arithmos, aritmetiké son palabras vinculadas a la raíz indoeuropea *ar-, *arə- (hacer que encastren o encajen juntos, ajustar) y su variante *re- (contar, razonar), con su forma aún más arcaica *h₂erh₁‑. Raíz también relacionada con términos como: radh, ‘triunfar’ en sánscrito; reor, reri, ‘ratificar’, ‘considerar’, ‘pensar’ en latín; rǣdan, ‘aconsejar’, ‘persuadir’, ‘leer’ en inglés antiguo; rātan, ‘deliberar’, en alto alemán antiguo. Podemos mencionar términos de uso común vinculados a esta raíz IE, por ejemplo, alarma, araña, arácnido, ordenar, arma, armadillo, armonía, arte, artista, artiodáctilo, artículo, artejo, inercia, inerte, filarmónica, ornato, adornar, sobornar y muchas otras.

‘Arismética’, palabra ya en desuso que llegó a usarse en lugar de ‘aritmética’

‘Arismética’, variante antigua de ‘aritmética’, se utilizaba también en español, y derivó del latín medieval arismētica, término asociado a la expresión ars metrica (el arte métrico). De donde también derivan arismetique en francés medieval (atestiguado en el siglo XIII), así como arsmetike, arsmetrik en inglés medieval. Todavía el Diccionario de la Lengua Española (2022) nos dice que “arismética, co, es un adjetivo o un sustantivo que significa ‘aritmética’, pero que ya casi no se usa”. 

La aritmética en la perspectiva histórica

Mesopotamia y Egipto

Los datos históricos que se tienen permiten ubicar el más antiguo uso intencionado del cálculo en la región de Mesopotamia (c. milenio VI a. C.), y hacia los milenios V-IV a. C. en Egipto. Debido a que, en primer lugar, las actividades agrícolas eran prioritarias, lo que suponía la necesidad de su calendarización, usando, naturalmente, el cálculo numérico; asimismo, las actividades comerciales hacían necesario el uso de una aritmética primitiva, aunque la palabra, como tal, no existía entre ellos. Hacia el siglo XVII a. C., los egipcios ya aplicaban la aritmética a diversas actividades (según el Papiro Rhind de los siglos ―XVIII-XVII). 

Babilonia

El pueblo mesopotámico de Babilonia (c. milenio II a. C.) desarrolló mucho la astronomía y establecieron un sistema posicional numérico, que les permitió avances en los métodos de cálculo. Elaboraron tablas de raíces y potencias cuadradas y cúbicas, que constituyen evidencia de una aritmética más sofisticada y, tal vez, primicias de métodos algebraicos.

La aritmética griega

En Grecia fue donde comenzó la aritmética como una disciplina independiente del cálculo empírico. Los griegos diferenciaban dos campos en el estudio de los números racionales. Por un lado, la aritmética propiamente dicha y la logística. La primera, más teórica, se encargaba del estudio y análisis de los números como tales, que, combinada con el análisis espacial de cuerpos y figuras, configuró a la geometría (aritmogeometría). En cambio, la logística era más práctica, pues se dedicaba al cálculo para las actividades comerciales y para el estudio de la naturaleza, en especial, los astros.

Por eso, los griegos de la Antigüedad ya tenían reservada las palabras λογισμός (logismós) para referirse al conteo y al cálculo con el uso de números y λογιστικός (logistikós) era la aritmética práctica, la ciencia práctica del cálculo, el experto, el adiestrado para calcular. De donde proviene la palabra logística de mucho uso en nuestro tiempo, tema que en otra ocasión abordaré. 

Personajes griegos destacados en aritmética 

• Pitágoras (c. 580-500 a. C.). Entre otras cosas, investigó relaciones numéricas, los intervalos musicales y el teorema sobre los triángulos rectángulos que lleva su nombre. 

• El geómetra Euclides (floreció c. 300 a. C.). Fue maestro de Alejandría, donde se cree fundó una escuela de matemáticas. Escribió un tratado de geometría llamado Elementos en 13 libros, que durante más de 2000 años se utilizó como base para muchos textos.

• Eratóstenes (276-194 a. C.). Nació en Cirene. El más versátil académico de su tiempo. Midió la oblicuidad de la eclíptica y la circunferencia terrestre con exactitud considerable. Inventó la «Criba de Eratóstenes», que sirve para encontrar todos los números primos menores a un número determinado. 

• Diofanto de Alejandría (c. siglo III d. C.). Su mayor trabajo se llamó Arithmetica, en 13 libros, de los que sobreviven 6; en el que ya trata la solución algebraica de algunas ecuaciones. Por eso lo consideran el padre del álgebra.

Romanos destacados

El único escritor romano de aritmética sobresaliente fue el filósofo Anicio Manlio Torcuato Severino Boecio (c. 475-524 d. C.). Fue un filósofo ecléctico cristiano, escritor y político nacido en Roma, que cursó estudios en Atenas. Además de escribir sobre aritmética (De arithmetica, obra del año 500, una traducción de la obra de Nicómaco de Gerasa), también fue un estudioso de la música (su obra destacada, De institutione musica), la astronomía y además un traductor de obras griegas, que dejó inconclusas. Murió cuando fue encarcelado en Pavía, Italia y ejecutado al año siguiente.

Su obra (neoplatónica) más importante es De consolatione philosophiae, que escribe en prisión y en la que lamenta su cruel destino, se conforta en la filosofía que adopta la forma de una hermosa mujer, quien le dice que la felicidad no debe buscarse en las posesiones, poderes o placeres temporales. Le asegura además que la crueldad es siempre castigada y la virtud es premiada, y que la libertad del hombre es consistente con la eterna precognición de Dios. La obra refleja la influencia de los griegos Platón, Aristóteles y Plotino.

Hindúes y Árabes

Sin embargo, nuestro actual sistema numérico no es de origen grecorromano, sino que proviene de los hindúes y los árabes. Los primeros tienen el crédito de haber inventado los números que ahora usamos y los segundos fueron los que los diseminaron a los pueblos del norte de África y Europa. El primer trabajo árabe en usar números hindúes sobrevive sólo como traducción y fue escrito por Al-Khwarizmi (¿780-850?), después traducido al latín por el filósofo inglés Adelardo de Bath (hacia principios del siglo  XII). 

Pero el más influyente tratado en latín medieval con el sistema hindú-árabe fue el Liber abaci  o Libro del Cálculo (1202) del italiano Leonardo da Pisa (¿1170-1250?), “el matemático occidental más talentoso del Medievo”.

El primer libro de aritmética, impreso en Treviso, Italia, el 10 de diciembre de 1478, se llamó en dialecto veneciano L’arte dell’ abaco, y estaba dirigido a servir como un auxiliar para los que se dedicaban a cuestiones comerciales. No se conoce con certeza al autor, pero algunos creen que fue algún religioso.

La introducción de la numeración arábiga

Leonardo de Pisa o Fibonaccis fue quien popularizó la “numeración arábiga” moderna, que en realidad se originó en India. En su Liber abaci ilustra las virtudes del nuevo sistema numérico , mostrando cómo puede ser usado para simplificar cálculos complejos. También escribió el Liber quadratorum (año 1225) o el Libro de los Números Cuadrados, que dedicó a Federico II de Alemania. 

Algunas diferencias entre aritmética y álgebra

Ante todo, debo advertir que es imposible abordar en este espacio todos los temas sobre este campo de las matemáticas. A continuación resumo las diferencias más destacadas entre aritmética y álgebra:

• El álgebra es en realidad una ampliación y suplemento de la aritmética, siendo en verdad, partes de una sola materia. Además, no se pueden realizar operaciones algebraicas sin el uso de la aritmética.

• En aritmética sólo se toman en cuenta los números que usamos para contar, es decir, los ‘números enteros’ y sus particiones, a las que se llaman ‘fracciones’ o ‘quebrados’.

• El álgebra no solamente considera los números enteros y sus fracciones. Además, utiliza letras en vez de los 10 símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Y estas letras pueden representar ‘números cualesquiera’.

• En aritmética se parte del hecho que ‘los números inician de cero’ y van aumentando, pero sin interesar los valores que puede haber al otro lado del cero, es decir, los números negativos.

• En aritmética pueden sumarse dos números cualesquiera, pero tratándose de la sustracción, nos limitamos a restar el número más pequeño del mayor. No es posible en aritmética restarle 8 al 2.

• Al mismo tiempo que el álgebra amplía el sistema numérico de la aritmética, desarrolla formas o  maneras más simples para su escritura, o sea, algo así como una taquigrafía o escritura rápida, que posibilita que un número sea representado por un símbolo cualquiera (a, b, c, x, y, z) lo que permite la simplificación de las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir.

La aritmética nos enseña a ‘hablar matemáticas’, sin duda, un idioma muy especial, mientras que el álgebra ‘nos enseña su alfabeto, su escritura, su gramática, y su diccionario’. Del mismo modo que un niño aprende a hablar su lengua natal en su casa, digamos, el español o el italiano, pero en la escuela aprende aspectos más complejos de su idioma. 

Una recomendación bibliográfica:

Thompson J. E. 1981. Álgebra. pp. 1-4. México. Edición impresa.    

Jesús Gerardo Treviño Rodríguez. 16 de mayo de 2022.